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トゥシャール多項式と時折呼ばれることもあるが異なる多項式の族 Qn については「ベイトマン多項式 」をご覧ください。
数学 において、Jacques Touchard (1939 ) によって研究されたトゥシャール多項式 (トゥシャールたこうしき、英 : Touchard polynomials )あるいは指数多項式 (exponential polynomials)[1] [2] [3] とは、次で定義される二項型 の多項式列 のことを言う。
T
0
(
x
)
=
1
,
T
n
(
x
)
=
∑
k
=
1
n
S
(
n
,
k
)
x
k
=
∑
k
=
1
n
{
n
k
}
x
k
,
n
>
0.
{\displaystyle T_{0}(x)=1,\qquad T_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}S(n,k)x^{k}=\sum _{k=1}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}x^{k},\quad n>0.}
ただし S (n , k ) は第二種スターリング数 、すなわちサイズが n の集合を k 個の互いに素な空でない集合に分割 する組合せの数を表す(上の第二式に現れる大括弧の記号 { } はドナルド・クヌース によって導入された)。n 次トゥシャール多項式の 1 における値は n 番目のベル数 、すなわち、サイズ n の集合を分割する組合せの数である。すなわち
T
n
(
1
)
=
B
n
{\displaystyle T_{n}(1)=B_{n}}
である。
X を、期待値が λ であるようなポアソン分布 を伴う確率変数 とすると、その n 次モーメントは E(X n ) = T n (λ) で、次が定義される。
T
n
(
x
)
=
e
−
x
∑
k
=
0
∞
x
k
k
n
k
!
.
{\displaystyle T_{n}(x)=e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}k^{n}}{k!}}.}
この事実より、この多項式列 は二項型 であることが直ちに示される。すなわち、次の等式が成り立つ。
T
n
(
λ
+
μ
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
T
k
(
λ
)
T
n
−
k
(
μ
)
.
{\displaystyle T_{n}(\lambda +\mu )=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(\lambda )T_{n-k}(\mu ).}
トゥシャール多項式は、すべての多項式の第一次数の項の係数が 1 であるような二項型の多項式列のみを作る。
T
n
+
1
(
x
)
=
x
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
T
k
(
x
)
.
{\displaystyle T_{n+1}(x)=x\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x).}
トゥシャール多項式は、ロドリゲスの公式 に似た次の公式を満たす。
T
n
(
e
x
)
=
e
−
e
x
d
n
d
x
n
(
e
e
x
)
{\displaystyle T_{n}\left(e^{x}\right)=e^{-e^{x}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{e^{x}}\right)}
トゥシャール多項式は、次の漸化式
T
n
+
1
(
x
)
=
x
(
1
+
d
d
x
)
T
n
(
x
)
{\displaystyle T_{n+1}(x)=x\left(1+{\frac {d}{dx}}\right)T_{n}(x)}
および
T
n
+
1
(
x
)
=
x
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
T
k
(
x
)
{\displaystyle T_{n+1}(x)=x\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x)}
を満たす。x = 1 の場合、これはベル数 に対する漸化式に帰着される。
陰記法 T n (x )=T n (x ) を用いることで、これらの公式は次のようになる。
T
n
(
λ
+
μ
)
=
(
T
(
λ
)
+
T
(
μ
)
)
n
.
{\displaystyle T_{n}(\lambda +\mu )=\left(T(\lambda )+T(\mu )\right)^{n}.}
T
n
+
1
(
x
)
=
x
(
1
+
T
(
x
)
)
n
.
{\displaystyle T_{n+1}(x)=x\left(1+T(x)\right)^{n}.}
トゥシャール多項式の母関数 は
∑
n
=
0
∞
T
n
(
x
)
n
!
t
n
=
e
x
(
e
t
−
1
)
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{T_{n}(x) \over n!}t^{n}=e^{x\left(e^{t}-1\right)}}
である。これは第二種スターリング数 の母関数に対応し、[4] においては指数多項式と呼ばれている。周回積分 の表現を使えば
T
n
(
x
)
=
n
!
2
π
i
∮
e
x
(
e
t
−
1
)
t
n
+
1
d
t
{\displaystyle T_{n}(x)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint {\frac {e^{x({e^{t}}-1)}}{t^{n+1}}}\,dt}
となる。トゥシャール多項式(そして関連するベル数 )は、上の積分の実部を用いて、非整数次の次の形に一般化することが出来る。
T
n
(
x
)
=
n
!
π
∫
0
π
e
x
(
e
cos
(
θ
)
cos
(
sin
(
θ
)
)
−
1
)
cos
(
x
e
cos
(
θ
)
sin
(
sin
(
θ
)
)
−
n
θ
)
d
θ
{\displaystyle T_{n}(x)={\frac {n!}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x{\bigl (}e^{\cos(\theta )}\cos(\sin(\theta ))-1{\bigr )}}\cos {\bigl (}xe^{\cos(\theta )}\sin(\sin(\theta ))-n\theta )\,\mathrm {d} \theta }
参考文献 [ 編集 ]